Uma população que obtém todo o alimento de que precisa aumentará cada vez mais rápido pois quanto mais indivíduos, mais bocas e portanto, mais alimento consumido acarretando maior crescimento de toda a população. Este tipo de crescimento é chamado de crescimento exponencial. O crescimento exponencial se caracteriza por um constante aumento percentual por período de tempo. Uma pequena população de ratos de laboratório que tem os recipientes de alimentos sempre mantidos cheios, não importando quanto os ratos comam, pode ser um exemplo. Quanto maior o consumo, mais alimento é fornecido e mais rápido a população cresce. A cada semana o número de ratos aumenta. Enquanto a necessidade por alimento for suprida, o número de ratos crescerá exponencialmente.

Como este suprimento ilimitado de alimentos não é possível de se manter indefinidamente, eventualmente a população de ratos parará de crescer tão rapidamente. A partir daí um modelo diferente deveria ser utilizado para ajustar a nova situação de suprimento limitado de alimento.

No diagrama E é uma fonte que mantém uma concentração constante, independentemente do que é extraído dela, ela é relativamente ilimitada. Q é a quantidade que está sendo suprida por E. Neste exemplo, E é o suprimento contínuo de alimentos e Q são os ratos. O símbolo de interação (a seta larga marcada com * em seu interior) mostra que os ratos estão comendo o alimento para produzir mais ratos. Como o aumento da população de ratos é dependente tanto do alimento fornecido (E) quanto da quantidade de ratos que já existe (Q), quanto mais ratos houver, mais irão comer e mais filhotes irão nascer. A equação para ao aumento em Q é K1*E*Q. K1 é a proporção de Q*E que se transforma em ratos a cada semana; é o coeficiente de crescimento dos ratos.

K1 é a combinação de dois coeficientes, K2 e K3. O aumento na quantidade de ratos depende de seu próprio crescimento e reprodução (K2*E*Q) menos o esforço que eles consomem para obter os seu alimento e água (K3*E*Q). K1 = K2 - K3. K1*E*Q é o crescimento líquido.

K4 é o coeficiente de morte dos ratos, a proporção de Q que morre. K4*q é o número de ratos que morrem a cada semana, a taxa de mortalidade.

Portanto, a mudança na quantidade de ratos no tempo (DQ) é o aumento (K1*Q*E) menos a diminuição (K4*Q):

A quantidade de ratos (Q) após uma semana é o número inicial mais a alteração:

O gráfico é obtido quando se calcula os valores de Q variando-se o tempo; a população (Q) cresce num ritmo pequeno no início e depois cada vez mais rapidamente. O gráfico acima pode ser obtido tanto através de uma planilha como por qualquer programa de computador, utilizando-se as relações discutidas na página anterior.

Exemplos de Modelos Exponenciais

Este modelo descreve corretamente o crescimento de populações de plantas ou animais com fontes sem restrições. Durante os estágios iniciais de crescimento da população, quando a a demanda por alimento é pequena comparada à quantidade disponível, quase toda população de plantas ou animais crescerá exponencialmente. A crescimento da população humana mundial tem sido exponencial até recentemente e ainda o é em alguns países.

As indústrias, como a do petróleo e da mineração, têm crescido exponencialmente enquanto novos campos de petróleo e jazidas de ouro têm sido encontradas. Os Estados Unidos, do início dos anos 1800 e até meados dos anos 1900, podem ser apontados como uma economia que cresceu exponencialmente usando uma grande abundância de recursos naturais e combustíveis fósseis descobertos nessa época.

Experimentos “O que aconteceria se...”

Façamos algumas mudanças na vida de nossa população de ratos de laboratório.

1. Se a concentração de alimento for dobrada, o que acontecerá com o crescimento da população de ratos? Faça uma previsão e depois aplique. Passe E de 1 para 2 e rode o programa. Agora corte pela metade a concentração de alimento (E) - cada pedaço de ração tem apenas metade do valor nutricional. O que acontece com a população de ratos?
   


2. O que aconteceria se fosse mudada a taxa de crescimento da população de ratos? Talvez o pesquisador tenha encontrado outra raça de ratos que coma mais eficientemente. Como será o gráfico de Q? Experimente. Faça K1 = 0,08 e desenhe o gráfico. Tente também para uma população de ratos que come menos eficientemente, fazendo K1 menor que o valor original de 0,07. Como é o aspecto do gráfico?
   


3. Uma outra mudança que pode ocorrer é na taxa de mortalidade. O que aconteceria ao crescimento da população de ratos se um vírus atacasse os ratos aumentando a taxa de mortalidade? Para testar sua hipótese, você aumentaria ou diminuiria o valor de K4? Mostre o que acontece com o crescimento da população. Depois faça com que os ratos sejam mais saudáveis que a população original mudando k4 na outra direção.
   


4. Se E for 1 e você fizer K1 igual a K4, o que acontecerá à população? Experimente.

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COMPUTER MINIMODELS AND SIMULATION EXERCISES FOR SCIENCE AND SOCIAL STUDIES

Howard T. Odum* and Elisabeth C. Odum+
* Dept. of Environmental Engineering Sciences, UF
+ Santa Fe Community College, Gainesville

Center for Environmental Policy, 424 Black Hall
University of Florida, Gainesville, FL, 32611
Copyright 1994

Autorização concedida gentilmente pelos autores para publicação na Internet
Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada - LEIA - Unicamp
Enrique Ortega
Mileine Furlanetti de Lima Zanghetin
Campinas, SP, 20 de julho de 2007