Modelos cuantitativos de simulación

CURSO DE ECOSISTEMAS Y POLÍTICAS PÚBLICAS
PARTE I. PRINCÍPIOS Y LENGUAJE SIMBÓLICO

CAPITULO 8.

SIMULANDO MODELOS CUANTITATIVOS

OBJETIVOS:

Escribir una ecuación para la variación de la cantidad, en un tanque de depósito donde existe un drenaje;
Usando una tabla, calcular la cantidad y flujo por hora, graficando los resultados en un eje de cantidad versus tiempo; explicando como estos cálculos son capaces de simular procesos representados por modelos;
Representar la simulación con un flujograma;
Escribir un programa en lenguaje BASIC que haga la misma simulación en un computador;
Preparar un modelo de producción-consumo, hacer una simulación y comparar con la simulación del computador.

En este Capítulo se introducirá en las técnicas para simulación de modelos cuantitativos de sistemas. Primero, usando un modelo de tanque con agua, se harán los cálculos a mano y se preparará una tabla y un gráfico con los cambios en cantidad de agua almacenada en un tanque versus el tiempo. Aquellos que disponen de un computador podrán hacer los cálculos en el mismo. Esto se llama "ejecutar un programa".

8.1 Introducción.

Los diagramas de energía son una manera de visualizar la forma en como se comportan los sistemas. Seis modelos de sistemas con diferentes tipos de fuentes de energía y depósito fueron introducidos en los Capítulos 6 y 7.

Despues de la lectura del Capítulo y de los ejercicios, estará apto para hacer gráficos de cómo cada ecosistema responde en función del tiempo. El lenguaje simbólico de energía se tornará mucho más comprensible, sobre todo cuando se usen números reales para mostrar el comportamiento del sistema.

El lenguaje de diagramas de energía, que hemos estado utilizando, son expresiones matemáticas. Con él hemos representado los procesos y sus relaciones. Ellos se convertirán en expresiones matemáticas cuando coloquemos números en los símbolos de proceso, depósito y en las razones de flujo, en cada trayectoria de energía. Si hacemos esto, tendremos un lenguaje próximo a aquel que los computadores consiguen comprender.

Si tiene acceso a un computador, podrá hacer ejercicios de simulación de esta sección usando la máquina. Si tiene un acceso restringido, puede obtener una demostración de simulación de computador usando los programas del Capítulo 8, disponibles en el disco que acompaña este libro. Si no tiene acceso a un computador, no se preocupe, podrá hacer los cálculos manualmente.

8.2 Coeficientes para parámetros simples.

Para representar cuantitativamente lo que está sucediendo en un modelo, a cualquier hora, se escriben números sobre diagramas. Las razones de flujo se escriben sobre parámetros de líneas y las cantidades en depósito se escriben en los símbolos de depósito.

Imagine un tanque conteniendo 20 litros (20 lt) de agua. Una manguera drena 10% del flujo de agua restante por hora. Durante las primeras horas, el tanque drenará 2 lt. de agua. Los diagramas para cantidad de energía de estos sistemas son así:

Figura 8.1 Modelo de tanque de drenaje.

Este diagrama es la descripción cuantitativa de sistemas que se presenta así durante la primera hora. No obstante, al inicio de la segunda hora, las cosas cambian; la cantidad de agua restante en el tanque es ahora 18 lt y la razón de flujo de salida es 10% de esto, o sea 1.8 lt/hr. Como en cada hora que pasa más agua corre, los valores diminuyen. Debemos encontrar una ecuación para estos cálculos.

Primero, representamos la cantidad de agua en depósito con Q (y admitimos que Q cambiará con el tiempo).
Segundo, describimos el flujo como un coeficiente de parámetro, llamado k, que indica la fracción de agua restante drenada por hora. Cuanto más grande el diámetro de la manguera, mayor es el coeficiente. En este ejemplo el coeficiente de parámetro es 0.1 (o 10%).

Note que: Flujo = coeficiente de parámetro x cantidad en depósito = k x Q donde: Coeficiente de parámetro = fracción decimal del flujo de depósito por unidad de tiempo. El modelo para el tanque con drenaje sería entonces así:

Figura 8.2 Modelo de tanque mostrando Q y kQ, k = 0.1.

8.3 Simulación manual.

La Tabla 8.1 muestra los cálculos del tanque de depósito y flujo por hora.

Tabla 8.1. Cálculos horarios para el tanque con drenaje (Figura 8.2)

Tiempo (horas)	Cantidad Q (litros)	Tasa de salida (litros/hora)
0	20	2
1	18	1.8
2	16.20	1.62
3	14.58	1.46
4	13.12	1.31
5	11.81	1.18
k = 0.1

Vamos a examinar los cálculos que se hicieron para formar la Tabla 8.1. El proceso se calculó repitiendo una serie de sustracciones, paso a paso, del depósito. El proceso de hacer cálculos repetidos como este se llama iteración. El proceso en las Figuras 8.1 y 8.2 podría ser expuesto como sigue:

La cantidad, a un intervalo de tiempo próximo, es la cantidad en el momento presente menos el flujo.

(nuevo Q) = (anterior Q) - (k x Q)

En otras palabras, la ecuación dice:

El nuevo Q igualará al anterior Q menos k veces el anterior Q.

Vamos escribir esta ecuación en la forma en como aparece en la pantalla de un computador, donde * significa multiplicación, e = significa "será igual".

Q = Q - k * Q

En el modelo del tanque con drenaje (Figura 8.1) el valor inicial para Q es 20 lt y k = 0.1 por hora. En la tabla 8.1 el inicio es indicado por la primera línea, cuando el tiempo es 0, y Q es 20 lt.

1. Para la primera hora:

Flujo de salida = k*Q
                = 0.1/hr * 20 lt
                = 2 lt/hr (2 litros por hora)

Al final de la primera hora el agua en el depósito se calcula por la sustracción:

    Nuevo depósito = depósito anterior - flujo habido en una hora
    Nuevo depósito = 20 lt - 2 lt
    Nuevo depósito = 18 lt

2. Para la segunda hora:

Flujo  de salida = k*Q
                 = 0.1 lt/hr * 18 lt
                 = 1.8 lt/hr

Al final de la segunda hora:

    Nuevo depósito = depósito anterior- flujo en una hora
    Nuevo depósito = 18 lt - 1.8 lt
    Nuevo depósito = 16.2 lt

La Tabla 8.1 muestra los cálculos para las primeras cinco horas. Si se extiende esta tabla para 20 horas y se gráfica los puntos sobre el eje se obtendría la siguiente figura:

Figura 8.3 Gráfico de la cantidad en depósito (Q) versus tiempo, como fue
calculado en la Tabla 8.1, simulando el modelo en la Figura 8.2.

8.4 Diagrama de flujo.

Cuando una serie de cálculos se hacen una y otra vez, se pueden escribir los pasos, del procedimiento de cálculo, como un diagrama de flujo. La Figura 8.4 es el diagrama de flujo para los cálculos que se hicieron en la Tabla 8.1. Leyendo desde el inicio hasta el fin, se instruye suministrar los números iniciales; trasladar los valores sobre un gráfico, calcular los valores después del intervalo de tiempo, retornar, graficar y calcular nuevamente, así sucesivamente hasta llegar a 20 horas.

La lista de pasos, en el procedimiento, se llama programa. El gráfico de flujo (Figura 8.4) es una manera de escribir un programa. Si se escribe una lista de instrucciones para un computador, se conoce como programa de computador.

Figura 8.4 Diagrama de flujo para cálculos en la tabla 8.1,
el cual simula el modelo de la Figura 8.2.

8.5 Simulación de computador. (Si no tiene acceso a un computador vaya a la Sección 8.6).

Primero, indicaremos cómo hacer una simulación en un computador Apple II.

Para hacer que un computador realice cálculos, debe darle una lista de instrucciones en el lenguaje en el cual él esté programado para responder. Las palabras y símbolos que necesita usar para instruir un computador, se dan en la Tabla 8.2. Ellos son parte del lenguaje BASIC. Si pone un disquete que haya sido preparado para el computador, y enciende la máquina, estará listo para ser utilizado en las instrucciones del programa.

Las instrucciones necesarias se dan en la Tabla 8.3, estas se numeran: 10, 20, 30, etc. Después de que el programa haya sido tecleado y esté almacenado en la memoria de trabajo en la pantalla, teclee RUN y el computador seguirá la lista de instrucciones hasta que los cálculos estén completos. Los números calculados a mano en la Tabla 8.1 se listarán en la pantalla. Para que el programa aparezca en la pantalla, teclee LIST. Para salvar el programa en un disquete, teclee SAVE y el nombre del programa.

Tabla 8.2. Algunas instrucciones en lenguaje BASIC

*COMANDO*	*Que hace*
RUN	Ejecuta el programa, listando las instrucciones en orden numérica.
GO TO	Va a la instrucción designada por el número y lo ejecuta en el texto.
IF	Da una instrucción para realizar alguna cosa, como ir a otra línea.
PRINT	Muestra sobre la pantalla el valor numérico de las cantidades que se listaron.
PSET	Muestra sobre la pantalla un punto relativo a los nuevos valores de las variables.
END	Detiene el programa.
=	Dispone una cantidad igual para el que es especificada.
+	Adiciona la próxima cantidad.
*	Multiplica la próxima cantidad.
/	Divide entre la próxima cantidad.
<	Menor que.
>	Mayor que.

Si el computador es un Apple II que está conectado a una impresora y quiere imprimir el programa, teclee PR#1 y luego LIST. Para imprimir los cálculos, teclee PR#1 y luego RUN. Para volver a la pantalla teclee PR#0. Si el computador es compatible con IBM-PC, imprima el programa tecleando LLIST. Para imprimir los cálculos, teclee CTRL PRTSC y entonces RUN.

Lo que sigue, es una explicación de las instrucciones en el programa (Tabla 8.3 y Figura 8.2)

Primero, le decimos al computador el tamaño de las cantidades con las que se trabajarán al principio. Así, tenemos (en la Tabla 8.3):

10 Q = 20 (cantidad en depósito = 20).
20 k = 0.1 (coeficiente de parámetro = 0.1).
30 T = 0 (tiempo = 0).

Luego le diremos al computador que imprima estos números:

40 PRINT T, Q, k*Q

Para seguir, le diremos al computador qué hacer con estos números:

Q = Q - k*Q

lo cual significa, "nuevo Q es igual al anterior Q menos k multiplicado por el anterior Q".
(Note: * significa multiplicar, para evitar confusión sobre el significado de x).
Habiendo hecho esto, se le dirá al computador avanzar en el tiempo una unidad:

60 T = T + 1

y entonces, si T es menor de 20, repetirá las instrucciones 40, 50 y 60:

70 IF T < 20 GO TO 40

El computador repite los cálculos para cada nuevo intervalo de tiempo, imprime
los resultados y avanza el tiempo hasta llegar a T = 20. En este punto, cuando llega
a la instrucción 70, no vuelve a 40, en lugar de eso, va a la línea 80 la cual dice:

80 END

La secuencia entera de los cálculos lleva pocos segundos; los resultados son listados en la pantalla en forma de tabla. Ahora puede simular a mano.

Tabla 8.3. Programa en BASIC para una simulación de modelo en la Figura 8.1

10	Q = 20
20	k = .1
30	T = 0
40	PRINT T, Q, k*Q
50	Q = Q - k*Q
60	T = T + 1
70	IF T < 20 GO TO 40
80	END

En la mayoría de los computadores, incluido Apple, las instrucciones 30 y 80 son innecesarias.

Para obtener un gráfico en lugar de una tabla de resultados, podemos reemplazar el comando PRINT en la línea 40, por el comando PLOT. El comando PLOT varia con el tipo de computador, este instruye al computador a realizar un gráfico de puntos sucesivos con T en el eje horizontal y Q en el eje vertical. Se obtiene la Figura 8.3 dando al computador la siguiente instrucción:

40 HPLOT T,160-Q

Para poner el computador en modo gráfico y cambiar el color del fondo a blanco, se necesita otra instrucción:

5 HGR: HCOLOR = 3

En IBM PC las instrucciones son:

SCREEN 1,0: COLOR 0,0
y
PSET (T/0.07, 180-Q/200) , 3

La curva en la Figura 8.3 muestra que la tasa de flujo disminuye proporcional a la disminución de la presión de agua en el tanque. Un programa similar está en el Apéndice Tabla A.8.

8.6 Una simulación más compleja.

Si pudo trabajar en la simulación del tanque con desagüe sin mucha dificultad, está listo para un modelo más complejo, Figura 8.5.

Figura 8.5 Diagrama de ecosistema.

Este modelo representa cualquier ecosistema. Muestra que, la luz solar que llega a los productores, es capturada durante la fotosíntesis y se almacena como biomasa hasta ser consumida por tejidos animales o tejidos vegetales durante la noche. Ahora vamos a adicionar algunos datos. La incidencia de la luz del sol varia durante el año, puede proveer las siguientes cantidades de energía:

Año	Estación	Luz solar (E3 joules/m2/estación)
1	Invierno	5 000
	Primavera	10 000
	Verano	15 000
	Otoño	10 000

Si las plantas capturan y almacenan 1% de la energía solar disponible (k1 = 0.001), y si los animales consumen 20% de la energía total almacenada en los tejidos de las plantas (k2 = 0.2) , entonces el modelo cuantitativo se parece a la Figura 8.6.

Figura 8.6 Diagrama de ecosistema con coeficientes de parámetros.

La simulación manual del sistema podría comenzar con Q=0.1. Haga los cálculos en cada línea de izquierda a derecha, para ver si puede reproducir los números de la Tabla 8.4. Trabajo para dos figuras significativas.

Tabla 8.4. Cálculos para simulación manual del diagrama en la Figura 8.6.

Las unidades son E3 joules/m2/estación.

Año	Estación	Luz solar S	Producción vegetal P=0.001*S	Consumo Animal C=0.2*(anterior Q)	Cantidad de materia vegetal Nuevo Q=anterior Q+P-C
0	Comienzo	-	-	-	0.1
1	Invierno	5 000	5	0.2*0.1= 0.02	0.1+5-0.02=5.1
	Primavera	10 000	10	0.2*5.1= 1.0	5+10-1=14
	Verano	15 000	15	0.2*14= 2.8	14+15-2.8=26
	Otoño
2	Invierno
	Primavera
	etc......

Continúe los cálculos en otra hoja de papel hasta obtener datos de cinco años. Grafique los valores para luz solar y cantidad de materia vegetal sobre la Figura 8.7, continuando el gráfico iniciado arriba.

Año: 1 2 3 4 5

inicio

Figura 8.7 Gráfico para los datos de la simulación del modelo del sistema P-R en la Figura 8.6 versus tiempo.

8.8 Computador para Simulación de Producción y Modelo de Consumo

El modelo en la Figura 8.5, que fue "simulado manualmente" en la Figura 8.7, puede ser escrito para simulaciones en computador como se muestra en la Tabla 8.5. Los programas para este y otros modelos se incluyen en el disquete de computador disponible junto a este libro, y están listados en el Apéndice A.

Tabla 8.5. Programa de computador en BASIC para el modelo P-R en la Figura 8.6.

(resultados multiplicados por 1000.)

10	Q = 0.1
20	k1= 0.001
30	k2 = 0.2
40	N = 1
50	IF N = 1 THEN S = 5 000
60	IF N = 2 THEN S = 10 000
70	IF N = 3 THEN S = 15 000
80	IF N = 4 THEN S = 10 000
90	N = N +1
100	IF N = 5 THEN N = 1
110	PRINT T, S, P, C, Q
120	P = k1*S
130	C = k2*Q
140	Q = Q + P - C
150	T = T + 1
200	IF T < 20 GO TO 50

Nota:

Para que el computador use diferentes valores de luz solar, N
se usa para cambiar los valores en cada estación. Para mandar al computador plotar gráficos, substituya el comando de la línea 110.

Las instrucciones son diferentes para cada tipo de computador.

Para Apple II, cambie lo siguiente:

5 HGR: HCOLOR = 3
6 HPLOT 0.0 to 0, 159 to 279, 0 to 0, 0
110 HPLOT T/0.07, 50- S/350
115 HPLOT T/0.07, 160- Q/0.5
200 IF T/0.07<320 GOTO 50

Para el IBM PC, los cambios serian:

5 SCREEN 1,0: COLOR 0,0
6 LINE (0,0)-(320,180),1,B
110 PSET (T/.07, 50-S/350)
115 PSET (T/.07, 180-Q/.5)
200 IF T/.07<320 GO TO 50

Para imprimir el gráfico en la hoja de papel, en el IBM presione la tecla SHIFT con la tecla PRINT SCREEN (PrtSc). Para Apple, hay varios programas especiales como el Printographer y el Beagle Brothers Triple Dump.

8.7 Discusión.

El anterior gráfico de cantidad, muestra el crecimiento y el estado estacionario como en el Modelo 3 (Figura 6.3). El sol es una fuente renovable fija con flujo constante. En consecuencia, la producción de material vegetal aumenta rápidamente al principio, pero desde que el consumo animal es un porcentaje fijo del material vegetal disponible, los consumidores comienzan a aumentar rápidamente hasta que la producción y consumo son iguales. El crecimiento no es uniforme a causa de las variaciones de la luz solar y el pico de crecimiento vegetal está después del pico de luz solar porque hay un atraso en la formación del depósito de la energía (almacenamiento).

Un ejemplo de este tipo de crecimiento es la sucesión ecológica. El crecimiento rápido de plantas en un campo abierto cambia a un crecimiento neto mas lento de arbustos y luego arboles, y culmina en un estado estacionario donde árboles y otros productores están en equilibrio con los consumidores.

Preguntas y actividades para el Capítulo 8:

1. Defina los siguientes términos:

simulación
cuantitativo
coeficiente
programa
iteración
ecuación diferencial
BASIC

2. Haga el diagrama de una descripción cuantitativa de un tanque de depósito mostrando depósito y flujos.

3. Calcule los coeficientes de parámetro de su tanque de depósito, siendo la cantidad almacenada 100 litros y el primer flujo de 5 litros/hora.

4. Usando la Tabla 8.1 como guía, haga una lista de los datos de la pregunta #3 en forma de tabla, esta será extendida para un mínimo de 15 horas.

5. Use sus datos del #4 para graficar cantidad (Q) versus tiempo (T) sobre ejes cartesianos.

6. Grafique los valores para luz solar y cantidad de materia vegetal en la Figura 8.7, continuando el gráfico ya comenzado.

7. Explique por qué el gráfico que completó en la Figura 8.7 es semejante a un gráfico de sucesión ecológica.

8. Como probablemente sabe, hay mucho más sobre programación de computadores en lenguaje BASIC, pero Ud. sabe lo suficiente para simular los Modelos en los Capítulos 6 y 7. Inténtelo entonces.

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"Environmental Systems and Public Policy" Copyright: H. T. Odum et al.
Ecological Economics Program. University of Florida, Gainesville 32611, USA. 1988.
Dudas? Sugerencias? Escriba para leia@fea.unicamp.br
Ultima revisión: 16 de agosto de 2001.

CURSO DE ECOSISTEMAS Y POLÍTICAS PÚBLICAS PARTE I. PRINCÍPIOS Y LENGUAJE SIMBÓLICO

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