‘Álgebras’ e ‘Grupos de Lie’: fundamentação e aplicações

sex, 01 dez 2017 | 09:48

Resenha

Livros de Luiz A. B. San Martin são referência no estudo da matemática

Autoria

Gabrielly Ciurcio | Editora da Unicamp | Especial para o JU

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REPRODUÇÃO | EDITORA UNICAMP

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LUIS PAULO SILVA

Próximo de completar 20 anos de sua primeira edição, o livro Álgebras de Lie, de Luiz A. B. San Martin, mantém-se pioneiro no Brasil ao publicar um apanhado das Teorias de Lie – desenvolvidas pelo matemático norueguês Marius Sophus Lie –, bem como suas aplicações no estudo de simetrias.

Seguido pelo seu complementar, Grupos de Lie, também de San Martin, – terceiro colocado no Prêmio Abeu 2017, da Associação Brasileira de Editoras Universitárias, na categoria Ciências Naturais e Matemáticas –, o conjunto de livros estabelece uma elucidação completa das teorias, álgebras e grupos de Lie, reconhecidamente um dos instrumentos mais importantes no estudo da matemática e de outras ciências.

Os dois livros resultam das pesquisas desenvolvidas por San Martin, de modo que, antes da publicação, seu conteúdo já era utilizado pelo autor como material didático para seus estudantes de mestrado e doutorado no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (Imecc) da Unicamp, onde leciona. Desse modo, sua aplicação teórica e prática fica evidente, pois nas obras o material apresenta-se de forma concisa e elucidativa, especialmente através de exemplos, exercícios e definições de conceitos.

Nos primórdios da teoria de Lie foram consideradas simetrias de equações diferenciais e simetrias de geometrias não-euclidianas que, diferentemente da geometria clássica, diz respeito à geometria esférica, hiperbólica e mais recentemente até fractais. O primeiro grande avanço se deu com a descoberta das álgebras de Lie. Posteriormente, a teoria de Lie foi aplicada a quase todos os ramos da matemática e da física como por exemplo no estudo das partículas elementares. Pode-se dizer que virtualmente toda a geometria desenvolvida no século XX está fundamentada na teoria de Lie.

Como consequência do estudo das álgebras de Lie, os grupos de Lie englobam os aspectos geométricos, topológicos (estudo de propriedades da figura através de conceitos como limites, continuidade, interior, exterior etc.), analíticos e algébricos. Através do conceito de grupo, automaticamente se estabelece a ideia de simetria, possibilitando a obtenção de dados locais ou globais em seus conjuntos. Assim, estabelecem para si a estrutura algébrica de grupo em conjunto com uma estrutura de variedade diferenciável (cálculo diferencial e integral).

Sendo um consequência do outro, os livros Álgebras de Lie e Grupos de Lie compõem um conjunto completo de fundamentação para estudos e para a compreensão de ambos os conceitos.

Álgebras de Lie

Em Álgebras de Lie é fornecido o aparato básico para o estudo puramente algébrico das álgebras de Lie de dimensão finita. Tendo como único pré-requisito para sua leitura o conhecimento de álgebra linear, o livro aborda seu tema de forma pedagógica e didática, concedendo também um apêndice sobre álgebra linear ao fim do livro, a fim de eventualmente situar o leitor. Dividido em 15 capítulos, todos contêm uma introdução ao seu conteúdo e, ao final, exemplos e exercícios que auxiliam na fixação de conteúdo, de modo que o conteúdo torna-se, cada vez mais, intuitivo ao leitor.

A leitura da introdução do livro é imprescindível, pois apresenta conceitos e a terminologia usados em todo o texto, sendo muito útil para aqueles que deparam com a teoria pela primeira vez. Cheia de exemplos, a introdução acaba por guiar a leitura dos capítulos seguintes.

Até o capítulo 5, é fundamentada a teoria das álgebras de Lie. Partindo de álgebras nilpotentes e álgebras solúveis, seguindo para os critérios de Cartan, fundamental na classificação das álgebras simples, para em seguida apresentar o conceito de subálgebra de Cartan chegando, por fim, a uma introdução sobre cohomologia, em que são apresentadas os teoremas de decomposição de Weyl e de Levi. A partir daqui, já é possível dominar a linguagem do livro, compreendendo os conceitos primordiais das álgebras de Lie, permitindo assim o aprofundamento no conteúdo e até mesmo a apreciação de seus valores estéticos.

Complementados pelos próximos capítulos anteriores, até o capítulo 9 é possível, então, ter um apanhado geral que forma o corpo central da teoria das álgebras de Lie de dimensão finita. Aqui, já foram citadas as teorias de Killing e Cartan de classificação das álgebras simples, além da apresentação de seus aspectos gerais, bem como são apresentados os grupos de Weyl que proporcionam uma visão dos sistemas de raízes, usados para classificar as álgebras simples. Em seguida, o leitor é levado à conceituação sobre as álgebras semi-simples, conceito que segue sendo abordado através de diversas perspectivas até o capítulo 15.

Apesar do aparente peso teórico da publicação, Álgebras de Lie consegue fixar seu conteúdo através dos diversos exemplos e exercícios sobre cada conceito apresentado – o que é um grande benefício de sua estrutura: nenhum conceito passa sem que antes seja realmente estudado e abordado de forma a se tornar intuitivo. Ao seguir para os próximos capítulos, os conceitos já se tornaram claros, tornando desnecessárias as categorizações conceituais. Além disso, alguns capítulos contêm exercícios cujas soluções são muito interessantes, mas não encontraram espaço no livro, revelando-se nos próprios exercícios, mantendo o leitor atento e agregando informações.

Muitos capítulos contam também com a seção “notas” com comentários sobre a teoria, curiosidades históricas e bibliográficas, o que torna o conteúdo mais leve. As referências bibliográficas apresentam um amplo espectro de textos e artigos sobre a teoria de Lie como um todo.

Vale reafirmar aqui que os livros Álgebras de Lie e Grupos de Lie são os únicos títulos sobre o tema publicados no Brasil. Além do apoio bibliográfico, o livro apresenta uma sugestão de projeto didático elaborada por San Martin, que se utiliza da mesma nos cursos sobre teoria de Lie que oferece.

Grupos de Lie

O livro Grupos de Lie diz respeito à classe especial de grupos que recebeu o nome do matemático norueguês. Eles consistem na combinação da estrutura algébrica de grupo com a estrutura de variedade diferenciável, sendo estudados através dos métodos do cálculo diferencial e integral.

Como uma continuação de Álgebras de Lie é possível descrever os grupos de Lie como objetos tipicamente não lineares que são estudados através da álgebra linear embutida nas álgebras de Lie. Aqui então serão estabelecidas as relações entre álgebras e grupos de Lie.

O livro é dividido em quatro partes. As duas primeiras não exigem conhecimento prévio sobre as álgebras de Lie. A primeira refere-se aos grupos topológicos. No primeiro capítulo desta seção, é apresentado o desenvolvimento das propriedades de tais grupos. Por isso, a leitura desta parte necessária para acompanhar o restante do livro, pois apresenta características amplamente utilizadas posteriormente.

A Parte 2 define a álgebra de Lie de um grupo de Lie e contém demonstrações das fórmulas que relacionam o produto no grupo, e o colchete de Lie na álgebra através da aplicação exponencial. Nessa parte, quando necessário, são apresentados conceitos sobre álgebra de Lie.

A Parte 3 aparece como consequência da segunda, com o objetivo obter todos os grupos de Lie a partir das álgebras de Lie. Aqui os resultados mais aprofundados das classificações das álgebras de Lie semissimples aparecem de forma decisiva. Entre os capítulos 2 e 3, os grupos de Lie tomam forma, tendo seu corpo principal estabelecido.

Assim, a Parte 4 refere-se às ações dos grupos de Lie, sendo comprovado que as órbitas de uma ação são subvariedades diferenciáveis.

Seguindo a estrutura do livro anterior, em Grupos de Lie, cada parte apresenta sua própria introdução, com um resumo que detalha seus principais resultados e interrelacionando as partes. Além disso, os capítulos apresentam diversos exemplos e exercícios.

Tanto Álgebras de Lie quanto Grupos de Lie são publicações direcionadas ao estudo matemático de suas relações, sendo aplicados a diversas áreas das ciências. No entanto, sua estrutura bem detalhada e a forma didática com que são cuidadosamente tratados ambos os conteúdos tornam a leitura possível a qualquer um que tenha um pequeno conhecimento prévio sobre álgebra linear - aquela estrutura clássica que aprendemos na escola.