Uma série misteriosa
Não se sabe ainda se a série $$ \sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{1}{n^3 \sin^2 (n)} $$ converge ou não.
A função trigonométrica sin se anula em qualquer múltiplo inteiro de Pi radianos. Mas o argumento que entra na sequência da série é um número natural n radianos. E Pi é um número irracional transcendental, então $$\sin^2 (n) > 0 $$ nunca se anula e assim o fator no somatório é finito.
O famoso teste da razão é inconclusivo para afirmar se a série converge ou não. E a função $$ f(x) = \frac{1}{x^3 \sin^2 (x)}$$ não satisfaz os pre-requisitos para se fazer o teste da integral. Veja o gráfico de f.
Podemos avaliar numericamente as somas parciais $$ s(k) = \sum_{n=1}^{k} \, \frac{1}{n^3 \sin^2 (n)} $$. Com a ajuda de um sistema computacional, obtemos algumas somas parciais.
| k | s(k) |
|---|---|
| 1 | 1.41228 |
| 3 | 3.42323 |
| 10 | 3.53872 |
Recorremos então ao Python 3, com o simples código
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def compute_s(k): # calcula a soma parcial até n=k
s = 0
for n in range(1, k + 1):
den = n*(n * np.sin(n))** 2
s = s + 1/den
return s
# gera as somas parciais até 400
s_values = [compute_s(k) for k in range(1,401)]
# Prepara para o gráfico -- repita para outros valores kin e kfim
kin = 1
kfim = 24
# Plot o gráfico
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(range(kin,kfim), s_values[kin:kfim], marker='o', linestyle='-')
plt.xlabel('$k$')
plt.ylabel('$s(k)$')
plt.title('$s(k)=\sum_{n=1}^{k}\,1/(n^3 (\sin(n))^2)$ ')
plt.grid(True)
plt.show()
O comportamento da soma parcial dá saltos, mas varia pouco entre um salto e outro.
Se explorarmos somas parciais, com significativamente mais termos somados, obtemos os seguintes gráficos.
E podemos explorar mais e mais intervalos para as somas parciais. Reconhecemos que os saltos acontecem quando o sin tem valores pequenos, isto é, quando o argumento n é próximo de algum número inteiro de Pi, a saber,
$$ n = 3 \lessapprox \pi , \quad n = 22 \approx 7 \pi, \quad n = 44 \approx 14 \pi, \quad n = 66 \approx 21 \pi $$
E assim por diante. Mas os saltos mais proeminentes podem ser visualizados com o gráfico de s(k) com k em torno de 355.
$$ s(355) - s(354) \approx 25 $$
Não é por acaso. $$ \pi \approx \frac{355}{113} \approx 3.1415929203539825 $$ Isto é, 355 é uma boa aproximação para 113 vezes o Pi.
Em tempo, com quinze casas decimais, $$ \pi \approx 3.141592653589793. $$
Créditos
Este problema aparece na seção 8.4, problema 80 do
THOMAS JR., George B.; FINNEY, Ross L. Cálculo. 10. ed. Vol. 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
que menciona que o problema está discutido no capítulo 72 de
PICKOVER, Clifford A. Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected. New York: St. Martin's Press, 1992.
Veja o Python notebook no Google Colaboratory.
Atualização
Em troca de mensagens com os colegas Eduardo Gueron da UFABC e Jim Skea da UFF, descobri que a convergência ou não da série misteriosa está relacionada à questão de pesquisa matemática da irracionalidade do número Pi. Vide a Michael Penn's Lecture e o Max A. Alekseyev's preprint.
Colocando em perspectiva no intervalo de 1 a 400, o salto em 355 é bem aparente.
