Figura 8.1 Modelo de tanque de drenagem.
OBJETIVOS:
Neste Capítulo se introduzirá nas técnicas para simulação de modelos quantitativos de sistemas. Primeiro, usando um modelo de tanque com água, serão feitos os cálculos a mão e será preparada uma tabela e um gráfico com as mudanças em quantidade de água armazenada em um tanque versus o tempo. Aqueles que dispõem de um computador poderão fazer os cálculos nele. Isto se chama "rodar um programa".
Os diagramas de energia são uma maneira de visualizar a forma como se comportam os sistemas. Seis modelos de sistemas com diferentes tipos de fontes de energia e depósito foram introduzidos nos Capítulos 6 e 7.
Logo após a leitura do Capítulo e seus exercícios, você estará apto para fazer gráficos de como cada ecossistema responde em função do tempo. A linguagem simbólica de energia se tornará muito mais compreensível, sobretudo quando se usar números reais para mostrar o comportamento do sistema.
A linguagem de diagramas de energia, que temos utilizado, são expressões matemáticas. Com ele temos representado os processos e suas relações. Eles se converterão em expressões matemáticas quando colocaremos números nos símbolos de processo, depósito e nas razões de fluxo, em cada trajetória de energia. Se fizermos isto, teremos uma linguagem próxima àquela que os computadores conseguem compreender.
Se tiver acesso a um computador, poderá fazer exercícios de simulação desta seção usando a máquina. Se você tem um acesso restringido, pode obter uma demonstração de simulação de computador usando os programas do Capítulo 8. Se não tem acesso a um computador, não se preocupe, poderá fazer os cálculos manualmente.
Para representar quantitativamente o que está sucedendo em um modelo, a qualquer hora, se escreve números sobre diagramas. As razões de fluxo se escrevem sobre parâmetros de linhas e quantidades em depósito se escrevem nos símbolos de depósito.
Imagine um tanque contendo 20 litros (20 l) de água. Uma mangueira drena 10% do fluxo de água restante por hora. Durante as primeiras horas, o tanque drenará 2 l de água. Os diagramas para quantidade de energia destes sistemas são assim:
Este diagrama é a descrição quantitativa de sistemas que se apresenta assim durante a primeira hora. Não obstante, ao início da segunda hora, as coisas mudam; a quantidade de água restante no tanque é agora 18 l e a razão de fluxo de saída é 10% deste, ou seja 1.8 l/h. Como a cada hora que passa, mais água corre, e os valores diminuem. Devemos encontrar uma equação para estes cálculos.
* Primeiro, representamos a quantidade de água em depósito com Q (e admitimos que Q mudará com o tempo).
* Segundo, descrevemos o fluxo como um coeficiente de parâmetro, chamado k, que indica a fração de água restante drenada por hora. Quanto maior o diâmetro da mangueira, maior é o coeficiente. Neste exemplo o coeficiente de parâmetro é 0.1 (ou 10%).
Note que:
Fluxo = coeficiente de parâmetro x quantidade em depósito = k x Q
onde
Coeficiente de parâmetro = fração decimal do fluxo de depósito por unidade de tempo.
O modelo para o tanque com drenagem seria então assim:
A Tabela 8.1 mostra os cálculos do tanque de depósito e fluxo por hora.
Tabela 8.1. Cálculos horários para o tanque com drenagem (Figura 8.2)
| Tempo (horas) | Quantidade Q (litros) | Taxa de saída (litros/hora) |
|---|---|---|
| 0 | 20 | 2 |
| 1 | 18 | 1.8 |
| 2 | 16.20 | 1.62 |
| 3 | 14.58 | 1.46 |
| 4 | 13.12 | 1.31 |
| 5 | 11.81 | 1.18 |
Vamos examinar os cálculos que foram feitos para formar a Tabela 8.1. O processo se calculou repetindo uma série de subtrações, passo a passo, do depósito. O processo de fazer cálculos repetidos como este se chama interação. O processo nas Figuras 8.1 e 8.2 poderia ser exposto como segue:
A quantidade, a um intervalo de tempo próximo, é a quantidade no momento presente, menos o fluxo.
(novo Q) = (anterior Q) - (k x Q)
Em outras palavras, a equação diz:
O novo Q igualará ao anterior Q menos k vezes o anterior Q.
Vamos escrever esta equação da forma como aparece na tela de um computador, onde * significa multiplicação, e = significa "será igual".
Q = Q - k * Q
No modelo do tanque com drenagem (Figura 8.1) o valor inicial para Q é 20 l e k = 0.1 por hora. Na tabela 8.1 o início é indicado pela primeira linha, quando o tempo é 0, e Q é 20 l.
1.Para a primeira hora:
Fluxo de saída = k*Q
= 0.1/h * 20 l
= 2 l/h (2 litros por hora)
Ao final da primeira hora a água no depósito se calcula pela subtração do fluxo por hora:
Novo depósito = depósito anterior - fluxo
= 20 l - 2 l
= 18 l
2.Para a segunda hora:
Fluxo de saída = k*Q
= 0.1 l/h * 18 l
= 1.8 l/h
Ao final da segunda hora:
Novo depósito = depósito anterior- fluxo = 18 l - 1.8 l = 16.2 l
A Tabela 8.1 mostra os cálculos para as primeiras cinco horas. Se estendemos esta tabela para 20 horas e se plotamos os pontos sobre o gráfico se obteria a seguinte figura:
Quando uma série de cálculos são feitos uma e outra vez, pode-se escrever os passos do procedimento de cálculo, como um diagrama de fluxo. A Figura 8.4 é o diagrama de fluxo para os cálculos que são feitos na Tabela 8.1. Lendo desde o início até o fim, é necesssário fornecer os números iniciais; transladar os valores sobre um gráfico, calcular os valores depois do intervalo de tempo, retornar, graficar e calcular novamente, assim sucessivamente até chegar a 20 horas.
A lista de passos, no procedimento, é chamado programa. O gráfico de fluxo (Figura 8.4) é uma maneira de escrever um programa. Escreve-se uma lista de instruções para um computador, conhecido como programa de computador.
Primeiro, indicaremos como fazer uma simulação em um computador Apple II.
Para fazer que um computador realize cálculos, devemos dar uma lista de instruções na linguagem na qual ele esteja programado para responder. As palavras e símbolos que necessitamos usar para instruir um computador, estão na Tabela 8.2. Eles são parte da linguagem BASIC.
As instruções necessárias se dão na Tabela 8.3, estas se numeram: 10, 20, 30, etc. Depois de que o programa tenha sido digitado e esteja armazenado na memória de trabalho e na tela, digite RUN e o computador seguirá a lista de instruções até que os cálculos estejam completos. Os números calculados a mão na Tabela 8.1 serão listados na tela. Para que o programa apareça na tela, digite LIST. Para salvar o programa em um disquete, digite SAVE e o nome do programa.
Tabela 8.2. Algumas instruções em linguagem
| Comando | O que faz |
|---|---|
| RUN | Roda o programa, listando as instruções em ordem numérica. |
| GO TO | Vai à instrução designada pelo número e o executa no texto. |
| IF | Dá uma instrução para realizar alguma coisa, como ir a outra linha, por exemplo IF T é menor que 20, GO TO .....). |
| Mostra na tela o valor numérico das quantidades que se listaram depois do comando PRINT | |
| PSET | Mostra na tela um ponto relativo aos novos valores das variáveis |
| END | Detém o programa. |
| = | Dispõe uma quantidade igual para o que é especificada. |
| + | Adiciona a próxima quantidade. |
| * | Multiplica a próxima quantidade. |
| / | Divide entre a próxima quantidade. |
| < | Menor que. |
| > | Maior que. |
Se o computador é uma Apple II que está conectado a uma impressora e se quer imprimir o programa, digite PR#1 e logo LIST. Para imprimir os cálculos, digite PR#1 e logo RUN. Para voltar à tela digite PR#0. Se o computador é compatível com IBM-PC, imprima o programa teclando LLIST. Para imprimir os cálculos, tecle CTRL PRTSC e então RUN.
O que segue, é uma explicação das instruções no programa (Tabela 8.3 e Figura 8.2)
Primeiro, dissemos ao computador o tamanho das quantidades com as que se trabalharam ao princípio. Assim, teremos (na Tabela 8.3):
10 Q = 20 (quantidade em depósito = 20).
20 k = 0.1 (coeficiente de parâmetro = 0.1).
30 T = 0 (tempo = 0).
Logo diremos ao computador que imprima estes números:
40 PRINT T, Q, k*Q
A seguir, diremos ao computador o que fazer com estes números:
50 Q = Q - k*Q
o qual significa, "novo Q é igual ao anterior Q menos k multiplicado pelo anterior Q".
(Note: * significa multiplicar, para evitar confusão sobre o significado de x).
Havendo feito isto, diremos ao computador para avançar no tempo uma unidade:
60 T = T + 1
e então, se T é menor de que 20, repetirá as instruções 40, 50 e 60:
70 IF T < 20 GO TO 40
O computador repete os cálculos para cada novo intervalo de tempo, imprime os resultados e avança o tempo até chegar a T = 20. Neste ponto, quando chega à instrução 70, não volta a 40, em lugar disto, vai à linha 80 a qual diz:
80 END
A seqüência inteira dos cálculos leva poucos segundos; os resultados são listados na tela em forma de tabela. Agora pode simular a mão.
Tabela 8.3. Programa em BASIC para uma simulação de modelo na Figura 8.1.
| 10 Q = 20 20 k = .1 30 T = 0 40 PRINT T, Q, k*Q 50 Q = Q - k*Q 60 T = T + 1 70 IF T < 20 GO TO 40 80 END |
Na maioria dos computadores, incluída o Apple, as instruções 30 e 80 não são necessárias.
Para obter um gráfico em lugar de uma tabela de resultados, podemos recolocar o comando PRINT na linha 40, pelo comando PLOT. O comando PLOT varia com o tipo de computador, este instrui ao computador a realizar um gráfico de pontos sucessivos com T no eixo horizontal e Q no eixo vertical. Se obtém a Figura 8.3 dando ao computador a seguinte instrução:
40 HPLOT T,160-Q
Para pôr o computador em modo gráfico e mudar a cor do fundo para branco, é necessário outra instrução:
5 HGR: HCOLOR = 3
Em IBM PC as instruções são:
SCREEN 1,0: COLOR 0,0
e
PSET (T/0.07, 180-Q/200) , 3
A curva na Figura 8.3 mostra que a taxa de fluxo diminui proporcionalmente à diminuição da pressão de água no tanque. Um programa similar está no Apêndice Tabela A.8.
Se puder trabalhar na simulação do tanque com drenagem sem muita dificuldade, está pronto para um modelo mais complexo, Figura 8.5.
Este modelo representa qualquer ecossistema. Mostra que, a luz solar que chega aos produtores, é capturada durante a fotossíntese e se armazena como biomassa até ser consumida por tecidos animais ou tecidos vegetais durante a noite. Agora vamos adicionar alguns dados. A incidência da luz do sol varia durante o ano, pode prover as seguintes quantidades de energia:
| Ano | Estação | Luz solar (E3 joules/m2/estação) |
|---|---|---|
| 1 | Inverno Primavera Verão Outono |
5 000 10 000 15 000 10 000 |
Se as plantas capturam e armazenam 1% da energia solar disponível (k1 = 0.001), e se os animais consomem 20% da energia total armazenada nos tecidos das plantas (k2 = 0.2) , então o modelo quantitativo se parece à Figura 8.6.
A simulação manual do sistema poderia começar com Q=0.1. Faça os cálculos em cada linha de esquerda a direita, para ver se pode reproduzir os números da Tabela 8.4. Trabalho para duas figuras significativas.
Tabela 8.4. Cálculos para simulação manual do diagrama na Figura 8.6. As unidades são E3 joules/m2/estação.
| Ano | Estação | Luz Solar S |
Produção vegetal P=0.001*S |
Consumo Animal C=0.2*(anterior Q) |
Quantidade de matéria vegetal Novo Q=anterior Q+P-C |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Começo | - | - | - | 0.1 |
| 1 | Inverno Primavera Verão Outono |
5 000 10 000 15 000 . |
5 10 15 . |
0.2*0.1=0.02 0.2*5.1=1 0.214=2.8 . |
0.1+5-0.02=5.1 5+10-1=14 14+15-2.8=26 . |
| 2 | Inverno Primavera Etc... |
. . . . |
. . . . |
. . . . |
. . . . |
Continue os cálculos em outra folha de papel até obter dados de cinco anos. Grafique os valores para luz solar e quantidade de matéria vegetal sobre a Figura 8.7, continuando o gráfico iniciado acima.
O modelo na Figura 8.5, que foi "simulado manualmente" na Figura 8.7 e que pode ser escrito para simulações em computador como se mostra na Tabela 8.5. Os programas para este e outros modelos estão listados no Apêndice A.
Tabela 8.5. Programa de computador em BASIC para o modelo P-R na Figura 8.6. (resultados multiplicados por 1000.)
|
10 Q = 0.1 20 k1= 0.001 30 k2 = 0.2 40 N = 1 50 IF N = 1 THEN S = 5 000 60 IF N = 2 THEN S = 10 000 70 IF N = 3 THEN S = 15 000 80 IF N = 4 THEN S = 10 000 90 N = N + 1 100 IF N = 5 THEN N = 1 110 PRINT T, S, P, C, Q 120 P = k1*S 130 C = k2*Q 140 Q = Q + P - C 150 T = T + 1 200 IF T < 20 GO TO 50 |
Nota: Para que o computador use diferentes valores de luz solar, N se usa para mudar os valores em cada estação.
Para mandar ao computador plotar gráficos, substitua o comando da linha 110.
As instruções são diferentes para cada tipo de computador.
Para Apple II, muda o seguinte:
5 HGR: HCOLOR = 3
6 HPLOT 0.0 to 0, 159 to 279, 0 to 0, 0
110 HPLOT T/0.07, 50- S/350
115 HPLOT T/0.07, 160- Q/0.5
200 IF T/0.07<320 GOTO 50
Para o IBM PC, as mudanças seriam:
5 SCREEN 1,0: COLOR 0,0
6 LINE (0,0)-(320,180),1,B
110 PSET (T/.07, 50-S/350)
115 PSET (T/.07, 180-Q/.5)
200 IF T/.07<320 GO TO 50
Para imprimir o gráfico na folha de papel, no IBM pressione a tecla SHIFT com a tecla PRINT SCREEN (PrtSc). Para o Apple, há vários programas especiais como o Printographer e o Beagle Brothers Triple Dump.
O anterior gráfico de quantidade, mostra o crescimento e o estado estacionário como no Modelo 3 (Figura 6.3). O sol é uma fonte renovável fixa com fluxo constante. Em conseqüência, a produção de material vegetal aumenta rapidamente ao princípio, mas desde que o consumo animal é uma porcentagem fixa de material vegetal disponível, os consumidores começam a aumentar rapidamente até que a produção e consumo são iguais. O crescimento não é uniforme por causa das variações da luz solar e o pico de crescimento vegetal está depois do pico de luz solar porque há um atraso na formação do depósito da energia (armazenamento).
Um exemplo deste tipo de crescimento é a sucessão ecológica. O crescimento rápido de plantas em um campo aberto muda a um crescimento líquido mais lento de arbustos e logo árvores, e culmina em um estado estacionário onde árvores e outros produtores estão em balanço com os consumidores.
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