Lista 2

1.

Uma onda incidente está polarizada na direção ${\bf\hat{{\bf x}}}$. Mostre, usando as condições de contorno dos campos elétrico e magnético, que as ondas refletida e transmitida também estão polarizadas na direção da onda incidente.

2.

Suponha que Ae^iax + Be^ibx = Ce^icx, para $A,\ B,\ C,\ a,\ b,$ e c constantes não nulas e para qualquer x. Mostre que a=b=c e A+B=C.

3.

Qual a menor espessura de deposição de uma camada de prata a ser usada quando uma onda de frequência 10¹⁰ Hz incide sobre esta superfície? $(\rho_{Ag} = 1,59 \times 10^{-8} \Omega$m)

4.

(a)

Mostre que o comprimento de atenuação de um mal condutor é $(2/\sigma) \sqrt{\epsilon/\mu}$. Encontre o comprimento de atenuação da água, $(\epsilon = 80.1,\ \chi_m = 9 \times 10^{-6},\ \rho=2,5 \times 10^8 \Omega \mbox{m})$.

(b)

Mostre que o comprimento de atenuação de um bom condutor é $\lambda /2\pi$. Encontre o comprimento de atenuação de um metal típico $(\sigma \approx 10^7 (\Omega m)^{-1})$para $\omega$ na região do visível, assuma $\epsilon \approx \epsilon_0$ e $\mu \approx \mu_0$.

(c)

Mostre que em um bom condutor o campo magnético está atrasado de $45^\circ$ em relação ao campo elétrico e encontre a razão de suas amplitudes. Faça um exemplo numérico usando o metal do itém anterior.

5.

(a)

Calcule a média temporal da densidade de energia de uma onda eletromagnética plana em um meio condutor. Mostre que a contribuição magnética sempre domina. [ Resp.: $(k^2/2\mu\omega^2) E^2_0e^{-2\kappa z}$]

(b)

Mostre que a intensidade é $(k/2\mu\omega)E^2_0 e^{-2\kappa z}$

6.

Calcule o coeficiente de reflexão para a luz em uma interface ar para prata na frequência óptica, $\omega = 4 \times 10^{15}/$s. $(\epsilon_1 = \epsilon_0,\ \mu_1=\mu_2=\mu_0,\ \sigma = 6 \times 10^7 (\Omega \cdot \mbox{m})^{-1})$

7.

Encontre a largura da região de dispersão anómala no caso de uma única ressonância de frequência $\omega_0$. Assuma $\gamma << \omega_0$. Mostre que o índice de refração assume seus valores máximo e mínimo nos pontos onde o coeficiente de absorção é metade do valor máximo.

8.

Assumindo um amortecimento desprezível, $(\gamma = 0)$, calcule a velocidade de grupo $(v_g=d\omega/dk)$ das ondas descritas por

$$\tilde{{\bf E}}(z,t) = \tilde E_0 e^{-\kappa z} e^{i(kz-\omega t)} \hat{{\bf x}}$$

$$\tilde k= {\omega\over c} \sqrt{\tilde\epsilon_r} \cong {\ome... ...{2m\epsilon_0}}\sum_j {f_j\over{\omega_j^2-\omega^2}} \right].$$

Mostre que v_g<c, mesmo quando v>c.

9.

Para um guia de ondas,

(a)

determine $E_x,\ E_y,\ B_x$ e B_y em termos das derivadas parciais de E_z e B_z.

(b)

Mostre que

$$\left[ {\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\parti... ...\omega\over c})^2 - Kz \right] {E_z\atopwithdelims\{\} B_z} =0$$

10.

Para ondas MT em um guia de ondas retangular, determine: o campo elétrico longitudinal, as frequências de corte, as velocidades da onda e de grupo.

11.

Mostre que para uma linha de transmissão coaxial

$${\bf E}(s,\phi,z,t) = {A\cos(kz-\omega t)\over s}\hat{{\bf s}}$$

$${\bf B}(s,\phi,z,t) = {A\cos(kz-\omega t)\over {cs}} \hat{\phi{\mkern-11mu} \phi}$$

satisfazem as equações de Maxwell e as condições de contorno para um guia de onda. Determine a densidade de carga $\lambda(z,t)$, e a corrente I(z,t), equivalentes no condutor interno.

12.

Considere as distribuições de carga e corrente que dão origem aos potenciais

$$V=0, \qquad {\bf A} = \left\{ \begin{array}{ll} {\mu_0 k\over... ...\vert x\vert < ct\\ 0, & \mbox{noutro caso} \end{array}\right.$$

(o exemplo feito em aula). Considere agora uma caixa retangular de comprimento l, largura w, e altura h, situada a uma distância d acima do plano yz.

(a)

Encontre a energia na caixa em t₁ = d/c, e em t₂ = (d+h)/c.

(b)

Encontre o vetor de Poynting, e determine o fluxo de energia por unidade de tempo na caixa durante o intervalo t₁<t<t₂.

(c)

Integre o resultado anterior de t₁ até t₂e confirme o resultado do primeiro itém.

13.

Encontre os campos, as distribuições de carga e corrente correspondentes a

$$V({\bf r},t) = 0 \qquad {\bf A}({\bf r},t) = - {1\over{4\pi\epsilon_0}} {qt\over r^2} \hat{{\bf r}}.$$

14.

Suponha V=0 e ${\bf A} = A_0 {\rm sen}(kx -wt)\hat{{\bf y}}$, onde $A_0,\ \omega$ e k são constantes. Encontre E e B, verifique que satisfazem as equações de Maxwell no vácuo. Que condições precisam ser impostas a $\omega$ e k?

15.

Use a função de padrão $\lambda = - {1\over{4\pi\epsilon_0}}{qt\over r}$para transformar os potenciais no problem 13 e comente os resultados.