Lista 3

1.

Os potenciais dos exs. 13 e 14 da lista 2 estão no padrão de Coulomb? E no padrão de Lorentz?

2.

Mostre que é sempre possível escolher

(a)

$\nabla \cdot {\bf A} = 0$

(b)

$\nabla \cdot {\bf A} = - \mu_0 \epsilon_0 {\partial V\over{\partial t}}$

(c)

V = 0

(d)

Por que nem sempre podemos escolher ${\bf A} = 0$

3.

Uma espira como a da figura,

transporta uma corrente que cresce linearmente com o tempo: I(t) = k t.

(a)

Calcule o potencial vetor ${\bf A}$ retardo em O.

(b)

Encontre o campo elétrico neste ponto assumindo que o condutor seja eletricamente neutro.

(c)

Por que este campo não é nulo?

4.

Suponha ${\bf J} \equiv {\bf J}({\bf r})$ (constante no tempo) e $\rho({\bf r} , t) = \rho({\bf r},0) + [{\partial \rho({\bf r},t)\over{\partial t}}]_{t=0} t$. Calcule ${\bf B}({\bf r})$ e mostre que

$${\bf E} ({\bf r},t) = {1\over{4\pi\epsilon_0}} \int { \rho({\... ...bf r} - {\bf r}'\vert^2}} \widehat{{\bf r} - {\bf r}'} d\tau'$$

5.

Para correntes que variam lentamente no tempo podemos escrever

$${\bf J}({\bf r},t_r) = {\bf J}({\bf r},t) +(t_r -t)\dot{{\bf J}}({\bf r},t) + \ldots$$

Mostre que neste caso

$${\bf B}({\bf r},t) = {\mu_0 \over{4\pi}} \int {{\bf J}({\bf r... ...bf r} - {\bf r}'} \over \vert{\bf r} - {\bf r}'\vert^2} d \tau'$$

6.

 Uma partícula de carga q move-se em um círculo de raio a a uma velocidade angular $\omega$ constante. O círculo está no plano (x,y), centrado na origem e no instante t=0 a carga esta em (a,0). Determine os potenciais de Liénard-Wiechert para os pontos do eixo z.

7.

Mostre que o potencial escalar de uma carga puntual movendo-se com velocidade constante pode ser escrito como

$$V({\bf r},t) = {1\over {4\pi\epsilon}} {q\over {R\sqrt{1 - v^2{\rm sen}^2\theta /c^2}}} ,$$

onde ${\bf R}\equiv {\bf r} - {\bf v} t$ é o vetor da posição presente da partícula ao ponto
r onde estamos calculando o potencial e $\theta$ é o ângulo entre ${\bf R}$ e v.

8.

Calcule os campos elétrico e magnético de uma carga puntual movendo-se com velocidade constante.

9.

Suponha uma carga q movendo-se na direção x com uma aceleração a. Calcule os campos elétrico e magnético para pontos à direita e à esquerda da carga.

10.

Para o mesmo sistema do problema 6, encontre os campos elétrico e magnético para pontos no centro do círculo. A partir do resultado para B, determine o campo magnético no centro de uma espira circular que transporta uma corrente estacionária I.

11.

Verifique que os potenciais

$$V({\bf r},t) ={p_0\over{4\pi\epsilon_0}} {\cos \theta\over r}... ...{\rm sen}[\omega(t-r/c)] +{1\over r}\cos[\omega(t-r/c)]\right],$$

$$A({\bf r},t) = -{\mu_0p_0\omega\over{4\pi r}} {\rm sen}[\omega(t-r/c)] \hat{{\bf z}},$$

de um dipolo oscilante, satisfazem a condição do padrão de Lorentz.

12.

Encontre a resistência de radiação do fio que une as duas extremidades do dipolo oscilante. (Esta é a resistência que daria a mesma perda de potência na forma de calor que o dipolo de fato está perdendo na forma de radiação. Expresse sua resposta em termos de um comprimento de radiação $\lambda$. Para os fios de um rádio comum, digamos com um comprimento de 5 cm e $\lambda \approx 10^3$ m, é importante levarmos em conta a contribuição radiativa a resistência total?

13.

Calcule os campos elétrico e magnético de um dipolo magnético oscilante diretamente a partir de

$${\bf A}({\bf r},t) = {\mu_0m_0\over{4\pi}} {{\rm sen}\theta\o... ...-r/c)] +{1\over r}\cos[\omega(t-r/c)]\right] \hat\mathbf{\phi}.$$

Calcule o vetor de Poynting e mostre que a intensidade de radiação obtida concorda com aquela determinada em aula.